概率分布

二项分布（Binomial Distribution）

• 定义：描述在 n 次独立试验中，成功次数的概率分布，每次试验的成功概率为 p。
• 公式：$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$，其中 k 是成功的次数。
• 适用范围：适用于固定次数的独立重复试验，如掷硬币、考试成绩等。
• 例子：文件中提到，计算特定数量的成功事件（如掷硬币得到正面）的概率

泊松分布（Poisson Distribution）

• 定义：描述在一个固定的时间间隔内发生特定次数事件的概率分布，事件发生的平均率为 λ。
• 公式：$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$，其中 k 是事件发生的次数。
• 适用范围：适用于事件随机独立发生且发生率均匀的情况，如电话呼入、交通事故发生率等。
• 例子：文件中提到的例子包括计算一小时内收到某个数量的电话呼叫的概率。

负二项分布（Negative Binomial Distribution）

• 定义：描述在进行独立重复试验时，达到第 r 次成功之前失败的次数。
• 公式：$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})(1-p{)}^k{p}^r$，其中 k 是失败次数。
• 适用范围：适用于需要确定某个事件发生特定次数之前失败次数的情况，如游戏中达到某个得分之前的失败次数。
• 例子：文件中提到用于分析某些实验结果中成功和失败次数之间的关系。

均匀分布（Uniform Distribution）

• 定义：所有可能的结果在一个区间内发生的概率相等。
• 公式：
  • 连续均匀分布：$f(x)=\frac{1}{b-a}$，其中$a\le x\le b$。
  • 离散均匀分布：$P(X=x)=\frac{1}{n}$，其中 n 是可能结果的数量。
• 适用范围：适用于所有可能值在某个区间内均匀分布的情况，如随机抽取号码等
• 例子：文件中提到的例子包括随机抽取一个在0到1之间的实数的概率。

正态分布（Normal Distribution）

• 定义：描述一个连续随机变量的分布，其概率密度函数呈现钟形曲线，中心对称于均值 μ，标准差为 σ。
• 公式：$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$。
• 适用范围：适用于大多数自然现象的数据分布，如身高、体重等。

卡方分布（Chi-Square Distribution）

• 定义：描述一组独立标准正态随机变量的平方和的分布，常用于假设检验和估计方差。
• 公式：自由度为 k 的卡方分布的概率密度函数为：$f(x)=\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{x}^{(k/2)-1}{e}^{-x/2}$。
• 适用范围：用于评估观测频率与期望频率之间的差异，如独立性检验和拟合优度检验。
• 例子：文件中提到，卡方分布用于统计学中的各种检验，如卡方独立性检验。