The quantum model of H atom

量子力学的诞生成功解释了氢原子光谱和化学元素周期律。作为结构最简单的原子，氢原子是为数不多有严格精确的薛定谔方程的解的微观结构。
由于质量的差异，氢原子在经典物理学中常被处理为单体模型；在量子力学中，我们同样可以使用约化质量$\mu$将其处理为单体模型。

模型单体化

实验室坐标系

电子与核的坐标分别为：$r_1(x_1,y_1,z_1)$和$r_2(x_2,y_2,z_2)$,两者质量分别为${\mu }_1，{\mu }_2$总质量$M={\mu }_{!}+{\mu }_2$

则体系的薛定谔方程为：

相对质心系

利用约化质量$\mu =\frac{{\mu }_1{\mu }_2}{{\mu }_1+{\mu }_2}$将电子看作绕一定点运动,此时的哈密顿量为$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\mathrm{\nabla }}^{\prime 2}+V$,其中拉氏量为${\mathrm{\nabla }}^{\prime 2}=(\frac{\partial }{\partial (\overrightarrow{x_1}-\overrightarrow{x_2})}{)}^2$,势能为：$V(r)=-\frac{e_s^2}{r}$,即：

根据数学推导我们可以得到定态能级和定态波函数：

氢原子定态特性

能级

定态为束缚态，能级为分立能级，基态为n=1，其对应能量$E_n=-13.597eV$也是其电离所需要的能量。

光谱

这就是经验公式里德伯公式的理论推导。

电子云分布

由波函数的定义可以定义电子云的概率密度函数：^[1]

在$(r,\theta ,\phi )$附近的体积元$d\tau =r^{2}sin\theta drd\theta d\phi$内电子出现的几率为${\omega }_{nlm}d\tau =R_{nl}^2\mid Y_{lm}{\mid }^2{r}^{2}sin\theta drd\theta d\phi$；可以看出电子云的机率密度与$\phi$无关，即机率分布关于极轴旋转对称。

由⼏率密度的形式，可看出：⼏率分布与φ⽆关，只和r、θ有关，即⼏率分布关于极轴旋转对称。

径向电子云分布

波函数沿着径向的变化满足归一化条件：

其中$r^2$来自空间立体角的体积元^[2]，真正表示概率密度的函数为$\mid R_{nl}{\mid }^2$，而${\omega }_{nl}(r)=r^2\mid R_{nl}{\mid }^2$可以视作半径r处的单位厚度球壳内电子出现的几率.

可以看到：

• s电子在核附近的密度最大（且不为零）
• p、d电子在核附近密度为零
  观察下图径向分布函数：
  
• 角量子数越大第一个峰离核越远
• 主量子数越大峰数越多
• 峰的大小：离核越远越大（因为能量对应关系）

一些径向波函数：

角向电子云分布

角量子数不同不同电子云的分布也不同。^[3]
对$w_{nlm}$求r的积分得到：

在各种l，m状态下，角向几率密度只与$\theta$有关，在前面也已经证明其是z轴对称的，特别的，l=0时，波函数呈球对称分布。对于同一l，各m态能量相同且的概率密度之和的分布为球对称。


截面花瓣数：

类氢体系

上述讨论对于类氢体系也都适用，只需把核电荷数和折合质量换成对应的物理量即可。

其中光谱公式的第二项为R：里德伯常数。