The nuclear model of the atom

对于汤姆孙模型而言，$\alpha$粒子受到的库仑力为：

1. 当r>R时，$F=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{2Z{e}^2}{r^2}$
2. 当r=R时，$F=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{2Z{e}^2}{R^2}=F_{max}$
3. 当r<R时，$F=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{2Z{e}^2}{R^3}r$
   此时在掠入射时$\alpha$粒子受力最大，那么此时的偏转也应是最大的
   $\mathrm{\Delta }t\times F_{max}=\mathrm{\Delta }p$,
   $\mathrm{\Delta }p=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{R}^2}\times \frac{2R}{v}$,$tan\theta =\frac{\mathrm{\Delta }p}{p}$,带入数值很容易发现$\theta$的值很小。
   根据卢瑟福的核式模型，我们可以得到散射模型。
   #卢瑟福的三个假设
4. 假定薄膜很薄，靶原子间不互相遮蔽，大角度散射都是一次散射。
5. 除了多小角度散射合成的情况外其他散射视为一次散射。
6. 忽略电子对入射粒子的阻碍。

#库伦散射公式
$b=\frac{a}{2}cot\frac{\theta }{2}$,$a\equiv \frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {ϵ}_{0}E}$,$a$的物理意义是$\alpha$粒子与靶粒子的最近距离。

推导：$F=ma=m\frac{dv}{dt}⟶\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{\hat{e}}_r=m\frac{dv}{dt}$;
因为，库仑力是中心力，中心力满足角动量守恒定律，因此，我们有：$L=mvr=m{r}^2\omega =m{r}^2\frac{d\varphi }{dt}$(常量);
带入得$\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{\hat{e}}_r=m\frac{dv}{d\varphi }\frac{d\varphi }{dt}$;于是整理后得：
$C_{2}dv=C_1{\hat{e}}_{r}d\varphi$,其中$C_1=\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$,$C_2=m\frac{d\varphi }{dt}$
积分得：$C_1(v_f-v_i){\hat{e}}_u=C_{2}2cos\frac{\theta }{2}(\hat{i}sin\frac{\theta }{2}+\hat{j}cos\frac{\theta }{2})$
其中，等式右边括号内的内容恰好等于${\hat{e}}_u$
$⟹vsin\frac{\theta }{2}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{mvb}cos\frac{\theta }{2}$
得到库仑散射公式
#卢瑟福散射公式
以此为基础，推导卢瑟福散射公式：设金箔面积为A，入射瞄准距离在b~b+db范围内的粒子散射角度在$\theta \sim \theta -d\theta$之间，单个原子的入射面积(有效散射截面)$d\sigma$为$2\pi bdb$,故打到圆环上的概率为$P=\frac{d\sigma }{A}=\frac{2\pi bdb}{A}=\frac{a^{2}2\pi sin\theta d\theta }{16Asi{n}^4\frac{\theta }{2}}$,
由立体角公式$d\mathrm{\Omega }=\frac{d{A}_{ij}}{r^2}=sin\theta d\theta d\varphi$，有$d\mathrm{\Omega }=\frac{2\pi rsin\theta \cdot rd\theta }{r^2}=2\pi sin\theta d\theta$.
则$P=\frac{2\pi b\cdot db}{A}=\frac{a^{2}d\mathrm{\Omega }}{16Asi{n}^4\frac{\theta }{2}}$.则在金原子互不遮挡的情况下，所有的散射面积为：$dp(\theta )=\frac{a^{2}d\mathrm{\Omega }}{16Asi{n}^4\frac{\theta }{2}}nAt$,其中n为分子数密度，t为厚度。

微分截面：$d\sigma$作为有效散射截面可以代表$\alpha$粒子射向金属箔后能发生散射的概率。
微分截面${\sigma }_C(\theta )=\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=(\frac{a}{4}{)}^2\frac{1}{si{n}^4\frac{\theta }{2}}$:单个入射粒子散射到$\theta$方向单位立体角内每个原子的有效散射截面。#^39d5bd

#实验验证

1. 1913年盖革和马斯顿再次进行试验并对不同散射角度的散射粒子计数。实验结果恰好与$si{n}^4\frac{\theta }{2}$成反比。
2. 经实验验证，同一散射角度散射粒子数与靶的厚度成正比。
3. 使用云母片减速，同一散射角，速度越大散射粒子数越少。
4. 靶原子原子序数的平方与散射数成正比。

困难和意义

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