Relativistic dispersion relation

物质只能在其静止时测定出其质量，洛伦兹在其以太理论架构中给出了洛伦兹因子： $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ ,并提出了横向质量( $γ^{3} m_{0}$ )和纵向质量( $γ m_{0}$ )，对于任何非静止质量为零时，其最大速度都无法到达光速。
后来爱因斯坦发表了狭义相对论，并提出 $E = m c^{2}$ ，这里的m现在认为是相对论质量。

在现代相对论的概念中：

相对论质量由： $m = \frac{E}{c^{2}}$ 定义，在动量方程 $p = m v$ 中的m也是相对论质量，而相对论质量与 $m_{0}$ 具有 $m = γ m_{0}$ 的关系。
据此我么可以导出：

E^{2} - (p c)^{2} = (m_{0} c^{2})^{2}

这就是相对论能量-动量方程，又称为相对论色散关系。其中 $m_{0} c^{2}$ 为静止质能。
在静止质量为零(如光子)时： $E = p c = \frac{h c}{λ} = h ν$ ^[1]；严格的 $E = m_{0} c^{2} + \frac{1}{2} m_{0} v^{2}$

对上面公式更详细的推导：

E = m c^{2} = m_{0} γ c^{2} \Rightarrow E^{2} = m_{0}^{2} \frac{c^{2}}{c^{2} - v^{2}} c^{4}

P = m v = m_{0} γ v \Rightarrow P^{2} c^{2} = m_{0}^{2} \frac{c^{2}}{c^{2} - v^{2}} v^{2} c^{2}

量子力学中实物粒子没有 $E = h ν$ 的说法！！！在量子场论里有。 $p c = \frac{h}{λ} c$ ,式中的 $\frac{c}{λ}$ 并不是实物粒子的频率，因为实物粒子的波速度不是c ↩︎