Preliminary quantum mechanics -- wave-particle duality

已经提到，Bohr的太阳系模型解释了诸多的实验现象，但是其整体理论却是建立在某些假设上的，其中定态假设不可避免地与经典电动力学发生了矛盾，同时卢瑟福和薛定谔等学者对该理论发出了诘难^[1]——这就促使了理论的进一步改进，量子力学的发展得以实现。

波粒二象性

光的波粒二象性

#粒子与波

粒子具有完全的定域性，在经典体系中我们可以知晓其相对观察者的位置，电荷，速度和动量——可以描述为一个质点。
波是在空间中无限扩展的，波的特征量是波长和频率。

然而光似乎具有两者的共同的特征：

在波的方面，光能够进行双缝干涉、衍射、折射等。
在粒子方面，光电效应、黑体辐射等。

爱因斯坦的光电效应理论首次提出了光量子的概念，这还是能量上的概念，后来根据狭义相对论，光真正意义上的便成了具有波粒二象性的光子。

#光子

光子的能量： $E = h μ$
光子的动量： $p = m c = \frac{h μ}{c} = \frac{h}{λ} = h k$
能量和质量的关系： $E = m c^{2}$

光子的解释：光在传播过程中以波的形式传播，在发生相互作用是是以粒子的形式进行作用。

物质的波粒二象性

1823年，de Broglie（德布罗意）提出了物质波的概念，同时提出了电子的晶体衍射实验。（1929诺奖）

#德布罗意关系式
德布罗意指出任何粒子都具有波粒二象性，并给出了物质粒子的动量与波长的关系：

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}

粒子的能量与波的频率的关系式：

E = h f = m c^{2}

将德布罗意关系式用在氢电子上，则电子以驻波的形式存在于氢核附近,电子的周长应是波长的整数倍，可以很自然的得出电子的角动量量子化的条件：

2 π r = n λ = n \frac{h}{p}

p r = m v r = L = n \frac{h}{2 π} = n ℏ

将德布罗意的关系式 $p = \frac{n ℏ}{r}$ 用在氢原子的能量关系式：

E = E_{k} + E_{r} = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{k e^{2}}{r} = \frac{n^{2} ℏ^{2}}{2 m r^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} r}

求导使得 $\frac{d E}{d r} = 0$ ,得到：

r_{n} = n^{2} a_{0} a_{0} = \frac{4 π ε_{0} ℏ^{2}}{m e^{2}}

这正是氢原子的量子化轨道半径；同理，代入E的表达式可以获得能量的表达式。这就意味着根据德布罗意关系式我么可以得到Bohr量子化假设的所有条件，也因此可以完全推得Bohr理论的所有结论。

#波粒二象性是量子理论的基础
考虑在刚性匣中的运动粒子，仅发生完全弹性碰撞。物质波来回反射形成驻波，其波长满足 $2 d = n λ = \frac{n h}{p}$ ，于是粒子的动量为 $p = \frac{n h}{2 d}$ ；动能为 $E_{k} = \frac{p^{2}}{2 m} = \frac{n^{2} h^{2}}{8 m d^{2}}$ .这样我们便成功使用物质波的理论描述了运动的粒子，可见粒子的动量与能量都是量子化的，定域的波必然导致量子化行为。

波粒二象性的实验验证

在德布罗意提出提出物质波的假设前，Davisson和Kunsman就发现了电子被多晶体^[2]的金属表面衍射的现象。

#戴维森、革末的电子晶体衍射实验
由于电子的波长极短，当时的技术条件无法制出相应数量级尺寸的光栅，因此只能借助晶体晶格进行实验。
1927年，偶然的真空破坏事故导致镍形成了单晶结构，电子从灯丝射出经电场加速后投射在镍晶体上产生了电子散射射线，通过检测散射射线的电流大小来测定电子在该方向的散射强度。
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实验结果：

改变探测器不同的角度，散射电⼦束在某些⽅向上特别强；这种现象类似于Ｘ射线被单晶衍射的情形，从⽽显⽰了电⼦束的波动特性。
使电⼦束与散射线之间的夹⾓ θ 保持不变,并测量在不同加速电压下散射电⼦束的强度。实验发现，电⼦束流强度并不随加速电压⽽单调变化，⽽是出现⼀系列峰值^[3]。
实验讨论：
电子的速度为：

v = \sqrt{\frac{2 e U}{m}} = \sqrt{\frac{2 E_{k}}{m}}

由德布罗意关系求出其波长：

λ = \frac{h}{m \sqrt{\frac{2 e U}{m}}} = \frac{h}{\sqrt{2 e m U}} = \frac{1.226}{\sqrt{E_{k} (e V)}} n m

若电子确有波动性，电子可以晶格为光栅进行衍射实验。
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1、2两条路径的波程差为： $Δ l = 2 d s i n θ$ , 则在 $θ$ 方向上有强波束射出的条件是 $n λ = 2 d s i n θ$ 与实验结果对比符合程度很好。可以得出结论电子在晶体上确实存在衍射现象，具有波动性。

#GP汤姆孙电子衍射实验
英国物理学家G.P. 汤姆孙独立地从实验中观察到电子束穿过多晶薄膜时发生衍射现象。
单电子衍射实验说明物质波不是电子的集体效应。

#波恩对德布罗意波的统计解释
在空间某处德布罗意波的强度，与粒子在该处附近出现的概率成正比，即：描述实物粒子的波是概率波.

下一节：波函数及其意义

卢瑟福的非难：当电子从一个能态跃迁到另一个能级时，必须假设电子事先知道它要往哪里跳！薛定谔的非难：当电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时，按照相对论，它的速度不能无限大，即不能超过光速。跃迁需要时间，那跃迁过程中，电子已经离开初始轨道，但是还没到达下一个轨道，那这时电子处在什么状态呢？ ↩︎
多晶体：整个物体是由许多杂乱无章的排列着的小晶体组成的，这样的物体叫多晶体。一般来说多晶体是各向同性的，但单个小晶体仍是各向异性。通常人们说的晶体衍射仪是多晶衍射仪。 ↩︎
此处实验与汞蒸气吸收电子能量的实验不同的是：1）. 电子能量有限，镍原子核电荷数远小于汞原子，汞原子的最外层电子更容易被激发； 2）. 实验时使用的是单晶镍，镍原子最外层电子参与形成金属键，受到多个原子核的束缚，不易进行跃迁。 ↩︎