Operators

量子力学的数学表述有两种形式：薛定谔方程代表的波动力学；狄拉克算符等代表的矩阵力学。
粒子运动状态用：坐标、动量、角动量、能量等力学量进行标志，其中最基本的波函数给出了粒子坐标的一个概率分布；剩余的分布可以分别通过算符的本征值方程求解或者傅里叶变换^[1]。

力学量算符化

量子力学中的力学量要用算符来表示，这是量子力学的另一个假设。

#坐标
以位矢 $\vec{r}$ 为自变量的空间，称“位置表象”,在位置表象中 $\vec{r}$ 的算符就是它本身，而对于其他力学量就需要将其算符化：

\vec{p} \Rightarrow \hat{\vec{p}} = - i ℏ \nabla E \Rightarrow \hat{E} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} E_{k} \Rightarrow \hat{E_{k}} = \frac{{\hat{\vec{p}}}^{2}}{2 m} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} \hat{L} = \vec{r} \times \vec{p} = - i ℏ \vec{r} \times \nabla

前两项我们在薛定谔方程一节中提到了较为详细的推导。
为满足叠加态原理，标示力学量的算符一定要是线性厄米算符^[2]！

Example

动量算符是线性的，这意味着如果 $\hat{p}$ 作用于态的叠加 $ψ = c_{1} ψ_{1} + c_{2} ψ_{2}$ ，其中 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是任意复数，而 $ψ_{1}$ 和 $ψ_{2}$ 是态空间中的任意态，那么结果是： $\hat{p} ψ = c_{1} \hat{p} ψ_{1} + c_{2} \hat{p} ψ_{2}$

求一个力学量的平均值:

连 续 : \bar{A} = \int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ^{*} (x) \hat{A} Ψ (x) d x 离 散 : \bar{A} = \sum_{n = 1}^{\infty} ∣ C_{n} ∣^{2} A_{n}

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算符的对易关系

定义两个算符对易有以下关系：

[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} = 0

两个力学量算符要同时具有对同一个本征函数有本征值的条件是，这两个算符必须要对易。

证明

若两个算符 $\hat{A}$ 和 $\hat{H}$ 对易，对于H的本征函数f有Hf=hf；则H（Af）=AHf=Ahf=hAf，所以f是A,H共同的本征函数。
例如哈密顿算符和角动量平方算符对易，所以能量和角动量可以同时确定。

算符的对易关系反映了力学量之间的不确定关系！
如：坐标和动量、时间和能量、角动量分量之间都互相不对易。

EPR佯谬

1935年，爱因斯坦与B. Podolsky 和N. Rosen联名发表了一篇论文 (Phys. Rev. 47 (1935) 777) 对量子力学的完备性提出质疑：
考虑二粒子系统，每个粒子的坐标和其动量是不对易的，但是 $x_{1} - x_{2}$ 和 $p_{1} + p_{2}$ 是对易的，这两者之间应该有共同的本征态，设其本征值分别为a和0，那么我们测量出两个粒子的x或p的任意一个就能知道另一个粒子对应的状态量，那么 $x_{1}$ , $p_{1}$ 无法同时测量也意味着 $x_{1}$ , $p_{2}$ 也不能同时测量，与假设相矛盾。

这其实是引入了相干态的概念，上述二粒子系统，就是一个相干系统。EPR认为，要么存在即时的超距作用，在测量粒子1位置的同时，立即干扰了粒子2的动量，要么粒子1的位置和动量是能同时精确测量的。这其实是后来发展起来的量子通信的理论基础，利用相干态（纠缠态）的性质，实现信息传递的保密性。

量子坍缩

两个不对易的力学量没有共同本征函数，例如坐标和动量，不能同时具有确定值，满足不确定关系。所以不确定关系反映的是量子力学算符之间的对易关系。

下一节：库伦势场下的薛定谔方程

如通过对坐标空间进行傅里叶变换可以获得其动量的分布。 ↩︎
厄米算符在Dirac operator一节有提到，为方便记忆我们姑且将其称为共轭对称算子（矩阵） ↩︎