One dimensional steady state problem

给出一个定态薛定谔方程：

[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (\vec{r})] ψ (\vec{r}) = E ψ (\vec{r})

其中含有波函数，粒子能量，势能，粒子相对论质量。其中对于一个固定（状态）的粒子，只有E和 $ψ$ 是变量。同时可以看出E和 $ψ$ 是一一对应的关系，即一个本征能量对应一个本征（波）函数。

波函数的通解

对于波函数，它的通解有两种形式，一种是行波解，即：没有被困在势阱内；另一种是驻波解，即：被困在势阱内自我叠加形成了驻波。具体推导过程参考：数学物理方法。
${\begin{array}{r} Ψ = A e^{k x} + B e^{- k x} 行波 \\ Ψ = A s i n (k x) + B c o s (k x) 驻波 \end{array}$

#一维无限深势阱
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在一维无限深势阱中，由于在[0，a]区间外势能无限大，粒子在该区间内出现的概率显然为0；而在[0，a]中，由于V=0，因此薛定谔方程变为：

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ (\vec{r})}{\partial x^{2}} = E ψ (\vec{r})

移项得：

\frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} = K^{2} ψ K = \sqrt{\frac{2 m E}{ℏ^{2}}}

其通解为：

ψ (x) = A s i n K x + B c o s K x

式中A,B为常数。
随后根据波函数的标准化条件，对系数A,B,K求解。对于本题：波函数应连续，因此：

x = 0 时 ψ (0) = B c o s 0 = 0

x = a 时 ψ (a) = A s i n K a = 0

方程的解为： $ψ (x) = A s i n \frac{n π}{a} x K = \frac{n π}{a}$
对波函数进行归一化，求得 $A = \sqrt{\frac{2}{a}}$
最后代入薛定谔方程求出能量 $E = \frac{n^{2} h^{2}}{8 m a^{2}}$ 这说明量子化直接源于薛定谔方程，无需再引入别的量子化条件。

零点能

将n=1代入E，求得 $E_{1} \neq 0$ 这表明在势阱内不存在能量为0的粒子，静止的波是没有意义的。这个能量称为粒子在该势阱内的零点能。同时，零点能也是不确定关系的必然结果： $Δ x \neq 0$ 则 $Δ p \geq \frac{ℏ}{2 Δ x}$
在微观不存在完全静止的粒子

而能级间隔 $Δ E_{n} = (2 n + 1) \frac{h^{2}}{8 m a^{2}}$ .这说明能级差随着n的增大而减少，当 $n ⟶ \infty$ 时 $Δ E ⟶ 0$ ,可以认为此时能量是连续，的这与Bohr的结论一致。

束缚态

通常把在无限远处为0的波函数所描写的状态，称为束缚态。
处于束缚态的粒⼦，因为其波函数在⽆限远处为0，所以粒⼦不能运动到⽆穷远，即粒⼦局限于某区域内运动——定域运动。
处于束缚态的粒⼦，因其运动受限制（定域运动），所以能量的取值⼀般要满⾜特定条件，即能量为分⽴值。也就是说，束缚态⼀般形成分⽴谱。

#一维有限深势阱
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在势阱内与之前类似：

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ (\vec{r})}{\partial x^{2}} = E ψ (\vec{r})

\frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + k^{2} ψ (x) = 0

⟹ ψ (x) = A s i n (k x + ϕ_{0})

在势阱外，如果电子的能量E大于阱深 $U_{0}$ ,则：

\frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + \frac{2 m}{ℏ^{2}} [E - U_{0}] ψ (x) = 0

定义第二项的系数为 $k^{^{″} 2} \frac{2 m}{ℏ^{2}} [E - U_{0}]$ ,则：

\frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} = - k^{^{″} 2} ψ (x) ⟹ ψ (x) \sim e^{\pm i k^{^{″}} x}

e指数为虚数，由此可得：

∣ ψ (x) ∣^{2} = C o n s t

这说明阱外电子类似于自由粒子不受束缚。

在势阱外，如果电子的能量E小于阱深 $U_{0}$ ,则：

\frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + \frac{2 m}{ℏ^{2}} [U_{0} - E] ψ (x) = 0

定义第二项的系数为 $k^{^{'} 2} \frac{2 m}{ℏ^{2}} [U_{0} - E]$ ,则：

\frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} = - k^{^{'} 2} ψ (x) ⟹ ψ (x) \sim e^{\pm i k^{^{'} 2} x} ψ (x) = A s i n (k x + ψ_{0})

利用波函数连续条件( $[L n ψ]^{'} = \frac{ψ^{'}}{ψ}$ 连续)可得： $ψ_{0} = - k L / 2 或 - k L / 2 + π / 2$ .
因此： $\frac{k^{'}}{k} = - c o t (\frac{k L}{2}) 或者 \frac{k^{'}}{k} = t a n (\frac{k L}{2})$

首先考虑第二种情况，即 $\frac{k^{'}}{k} = t a n (k L / 2) > 0$
由于 $k^{' 2} + k^{2} = 2 m U_{0} / ℏ^{2} \equiv k_{0}^{2}$
$\frac{1}{c o s^{2} (k L / 2)} = 1 + t a n^{2} (k L / 2) = \frac{k_{0}^{2}}{k^{2}} ⟹∣ c o s (k L / 2) ∣= \frac{k}{k_{0}}$
上述方程仅有一个变量 $k = \frac{\sqrt{2 m E}}{ℏ}$
化简等式：

∣ c o s (k L / 2) ∣= \frac{k}{k_{0}}

∣ c o s (\frac{\sqrt{2 m E_{n}}}{2 ℏ}) ∣= \sqrt{\frac{E_{n}}{U_{0}}}

等式两边同时去arcos，即 $c o s^{- 1}$ ，得：

π n + \frac{\sqrt{2 m E_{n}} L}{ℏ} = c o s^{- 1} \sqrt{\frac{E_{n}}{U_{0}}}

该方程的解即为:
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其中P点是方程的解。

对于第一种情况： $k^{'} / k = - c o t (k L / 2) > 0$ 可得： $∣ s i n (\frac{k L}{2}) ∣= \frac{k}{k_{0}}$
与第一个情况同理：

\frac{k L}{2} = n π \pm s i n^{- 1} (\frac{k}{k_{0}})

\frac{\sqrt{2 m E_{m}} L}{ℏ} = 2 π n - 2 s i n^{- 1} \sqrt{\frac{E_{n}}{U_{0}}} n = 1, 2, 3 \dots

上图中I点为该方程的解。^[1]

上面两式 $U_{0}$ 取极限 $U_{0} \to \infty$

E_{n} = \frac{ℏ^{2} π^{2}}{2 m L^{2}} n^{2} n = 1, 2, 3, \dots

小结

根据薛定谔方程求出波函数大致形态
利用波函数的限制条件求出波函数中相应参数 $E_{n}$ 的特征方程
限制条件：连续性、有限性、单值型（前两者用得较多）
1. 其中连续性包括一阶导数连续

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#有限深势阱与无限深势阱的区别

粒子在有限深势阱中可以穿透势阱壁垒
在有限深势阱中粒子在任意态时的能量都小于无限深势阱（无限深势阱中的能量被限制在势阱中，但有限深势阱中的能量部分分布在势垒里）
能量比势阱深度大的粒子将不受限制，其能量也不量子化。

#量子隧穿效应
当粒子能量低于势垒高度且势垒厚度较小时，处于势阱中的粒子有一定概率穿透势阱。

考虑粒子在一维方势垒的穿透问题：
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由 $[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (\vec{r})] ψ (\vec{r}) = E ψ (\vec{r}) ⟶ - \frac{ℏ^{2} d^{2} ψ}{2 m d x^{2}} + V (x) ψ = E ψ (E < V = U_{0})$
因此上图Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分区的薛定谔方程为：

{\begin{array}{r} - \frac{ℏ^{2} d^{2} ϕ_{1}}{2 m d x^{2}} = E ϕ_{1} \\ - \frac{ℏ^{2} d^{2} ϕ_{2}}{2 m d x^{2}} + U_{0} ϕ_{2} = E ϕ_{2} \\ - \frac{ℏ^{2} d^{2} ϕ_{3}}{2 m d x^{2}} = E ϕ_{3} \end{array} ⟹ {\begin{array}{r} \frac{d^{2} ϕ_{1}}{d x^{2}} = - \frac{2 m E}{ℏ^{2}} ϕ_{1} = - k_{1}^{2} ϕ_{1} ⟹ ϕ_{1} = A_{1} e^{i k_{1} x} + B_{1} e^{- i k_{1} x} \\ \frac{d^{2} ϕ_{2}}{d x^{2}} = \frac{2 m}{ℏ^{2}} (U_{0} - E) ϕ_{2} = k_{2}^{2} ϕ_{2} ⟹ ϕ_{2} = A_{2} e^{k_{2} x} + B_{2} e^{- k_{2} x} \\ \frac{d^{2} ϕ_{3}}{d x^{2}} = - \frac{2 m E}{ℏ^{2}} ϕ_{3} - k_{3}^{2} ϕ_{3} ⟹ ϕ_{3} = A_{3} e^{i k_{3} x} + B_{3} e^{- i k_{3} x} \end{array}

其中：第一个式子中 $A_{1}, B_{1}$ 项分别代表入射波和反射波， $A_{1}$ 简单起见设为1；第三个式子中 $A_{3}$ 为透射波， $B_{3}$ 因为不存在反射波因此为0。因此由波函数的连续性我们有：

{\begin{array}{r} x = 0 1 + B_{1} = A_{2} + B_{2} i k_{1} - i k_{1} B_{1} = k_{2} A_{2} - k_{2} B_{2} \\ x = a A_{2} e^{k_{2} a} + B_{2} e^{- k_{2} a} = A_{3} e^{i k_{3} a} A_{2} k_{2} e^{k_{2} a} - B_{2} k_{2} e^{- k_{2} a} = i A_{3} k_{3} e^{i k_{3} a} \end{array}

根据这四个方程可以求出 $B_{1}, A_{2}, B_{2}, A_{3}$ .
定义透射系数 $T = A_{3}^{2}$ 与反射系数 $R = B_{1}^{2}$ ，容易验证 $R + T = 1$ ^[2]

T&R

$R = \frac{(k_{1}^{2} + k_{2}^{2})^{2} s h^{2} k_{2} a}{(k_{1}^{2} + k_{2}^{2})^{2} s h^{2} k_{2} a + 4 k_{1}^{2} k_{2}^{2}}$
$T = \frac{4 k_{1}^{2} k_{2}^{2}}{(k_{1}^{2} + k_{2}^{2})^{2} s h^{2} k_{2} a + 4 k_{1}^{2} k_{2}^{2}}$

当势垒壁较厚时， $k_{2} a ≫ 1$ ， $s h k_{2} a \approx e^{k_{2} a / 2}$ , $T = \frac{16 k_{1}^{2} k_{2}^{2}}{(k_{1}^{2} + k_{2}^{2})^{2}} e^{- 2 k_{2} a} = \frac{16 E (U_{0} - E)}{U_{0}^{2}} e^{- 2 \sqrt{2 m (U_{0} - E)} a / ℏ}$ (透射率指数衰减).

由各区波函数得到的结果如图
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结论： $P \propto e^{- 2 \sqrt{2 m (U_{0} - E)} a / ℏ}$ ^[3]
对于透射波强度削弱为入射波+反射波强度的 $\frac{1}{e}$ 时，这个距离称为穿透深度d

d \approx \frac{ℏ}{2 \sqrt{2 m (U_{0} - E)}}

对量子隧穿的理解

$E = \frac{p^{2}}{2 m} ⟶ Δ E = \frac{2 p Δ p}{2 m}$
当粒子的能量不确定度足够大时（动量不确定度足够小）可以有 $E + Δ E > U_{0}$
这是隧穿得以发生。

应用：扫描隧道显微镜

下一节：力学量和算符

上式与讲义中式子不符（差了2，不知道为什么）同时，下式未能由上式推导出，代考证。 ↩︎
即两者的概率加起来为1，即为 $A_{1}$ . ↩︎
苏联科学家伽莫夫首先导出此公式，并用此公式解释原子核的α衰变。 ↩︎