微观粒子由于波动性较强，其运动具有量子化的特点，不适合使用经典的牛顿定律去描述其运动规律，为了建立一个能描述微观粒子运动规律的方程，$Schr\ddot{o}dinger$方程应运而生。
因为自由粒子的能量E和动量p都是常量，所以由德布罗意关系可知，与自由电子联系的波的频率为$\mu$和波矢k（或波长$\lambda$）都不变，即是一个单色平面波^[1]。描述一个频率为$\nu$,波长为$\lambda$,沿单位矢量$\overrightarrow{n}$,方向传播的平面波我们有：

$\mathrm{\Psi }=Acos[2\pi (\overrightarrow{r}\cdot \frac{\overrightarrow{n}}{\lambda }-\nu t)]=Acos[\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}-\omega t]$

#波函数的不定性
波函数表示的概率是相对的概率，$C\mathrm{\Psi }(r,t)$和$\mathrm{\Psi }(r,t)$所描述的的状态的相对几率是相同的，因此波函数有一常数因子具有不确定性。为了确定常数因子，我们通常采取归一化处理。利用归一化条件我们有${\int }_{\mathrm{\infty }}\mid \mathrm{\Psi }(r,t){\mid }^{2}d\tau$,波函数$\mathrm{\Psi }$称为归一化波函数^[2]。

#对波函数的要求
有限性，连续性，单值性

叠加态原理

与经典的波相同，量子力学中的波也可以进行叠加；与经典的波不同，叠加态原理是态的叠加而非概率的直接相加，其相关原理成为叠加态原理

以电子的双缝干涉为例：

一个电子穿过双缝到达P点有两条路径，分别是穿过S1、S2到达P点；两条路径到达P的波函数分别为${\mathrm{\Psi }}_1,{\mathrm{\Psi }}_2$,则到达P的总波函数为：
$\mid \mathrm{\Psi }{\mid }^2=\mid C_1{\mathrm{\Psi }}_1+C_2{\mathrm{\Psi }}_2{\mid }^2=\mid C_1{\mathrm{\Psi }}_1{\mid }^2+\mid C_2{\mathrm{\Psi }}_2{\mid }^2+(C_1^{\ast }{\mathrm{\Psi }}_1^{\ast }{C}_2{\mathrm{\Psi }}_2+C_1{\mathrm{\Psi }}_1{C}_2^{\ast }{\mathrm{\Psi }}_2^{\ast })$
其中C1,C2为复常数；上式前两项分别为穿过对应的缝到达P点的概率，最后一项表示，两个概率波在P的干涉叠加[^3]。

#对电子双缝干涉的解释
在双缝后增加光源以确定电子位置时会导致叠加态的电子发生量子坍缩,干涉条纹随着光强增大逐渐消失。[^4]
双缝干涉实验中，是一个电子自身与自身的干涉叠加，而非两个电子的叠加，两个量子波的叠加并不形成一个新的状态。（电子与光子不同，光子静止质量为0，因此光子双缝干涉可以由经典波理论解释）。
宏观子弹射击实验未产生双缝干涉的原因在于其质量加大，波长过小，干涉效应过于细小——将干涉条纹进行横向压缩，因此我们只能观察到其平均效应。

根据波粒二象性的假设，要描述一个微观粒子需要用到波函数，那么如何确定一个粒子的波函数？
1926年Schrödinger提（猜）出了薛定谔方程对此问题给出了解答。

微观粒子运动方程所需要的要求

1. 波函数是态函数，即在$t_0$时刻，粒子有状态$\mathrm{\Psi }(r,t_0)$,若以此为初始条件去求得其之后的状态，则其后续状态与时间有关，方程中需要含有波函数对时间的一阶导数。
2. 波函数要满足态叠加原理，即：若${\mathrm{\Psi }}_1$与${\mathrm{\Psi }}_2$都是波动方程的解，则$\mathrm{\Psi }(r,t)=C_1\mathrm{\Psi }(r,t)+C_2\mathrm{\Psi }(r,t)$也需要是方程的解，这就要求方程是线性的，波动方程中没有与坐标相关的高次项或开方项（含有对坐标各阶导数的一次项）。
3. 波动方程不应与其他状态参量相联系，不能含有E,P等参数。

狄拉克创立了狄拉克算符系统，使得量子力学规律的呈现变得简洁；狄拉克算符系统的本质上很大部分包含了复数域上的线性代数。

Hilbert空间

一个完备化的内积空间称为希尔伯特空间。

算符

算符的本质是线性变换（亦即映射）一般用花写的英文字母表示，如$\mathcal{A}$,对应于线性代数中的矩阵A；特别的，记单位算符为$\mathcal{I}$,其作用于任何向量与算符都等于被作用的向量或算符；同维的算符可以相加相乘，与矩阵的运算法则相同。

态矢

狄拉克算符分为左矢与右矢，记作：$|a⟩,⟨a|$,其中a是任何能够表征这个态的量，如对于能量为$E_0$的能量本征态，其右矢表示往往为$|E_0⟩$.

态矢与线性代数中的矢量相对应。具体的，右矢往往对应于列矢量，左矢往往对应于行矢量。

其中：
$(⟨a|{)}^{†}=|a⟩(|a⟩{)}^{†}=⟨a|$

同类态矢可以做加法、乘法，非同类态矢可以做乘法，其中：
$⟨a||b⟩=c|a⟩⟨b|=A$
其中c为一个常数，A为一个矩阵。

复共轭

复数

对于复数，我们有$a+ib=\overline{a-ib}$,称为a+ib是a-ib的复共轭；复数的共轭运算遵循加法的结合律和乘法的结合律，两共轭复数相乘得到的是一个实数。
复数的模：$\mid a+bi\mid =\sqrt{a^2+b^2}$

复向量

由复数组成的向量可以写成以下形式：
$\overrightarrow{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]x_j=a_j+i{b}_j$
复向量的模与实向量的模类似，但是需要对每个复数先取模再平方：
$\parallel \overrightarrow{x}{\parallel }^2=\mid x_1{\mid }^2+\cdots +\mid x_n\mid$
实向量的模的平方等于实向量的转置与实向量的内积:
$\parallel \overrightarrow{x}{\parallel }^2={\overrightarrow{x}}^T\overrightarrow{x}$
对于复向量：复向量模的平方等于其复共轭(即向量中的每个维的复数取其复共轭)的转置与复向量的内积，即：
$\parallel \overrightarrow{x}{\parallel }^2={\bar{\overrightarrow{x}}}^T\overrightarrow{x}$
其中${\bar{\overrightarrow{x}}}^T$也常用厄米共轭表示：${\overrightarrow{x}}^{†}$

复矩阵与厄米共轭

对于复矩阵：$(AB{)}^{†}=B^{†}{A}^{†}$，如果$A=A^{†}$,则称A为Hermitian Matrix（埃尔米特矩阵/厄米特矩阵），该矩阵有如下性质：^[1:1]
$(x^{†}Ax{)}^{†}\in \mathbb{R}(x^{†}Ax{)}^{†}=x^{†}Ax$
$A\overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}\lambda \in \mathbb{R}$
$A\overrightarrow{x}={\lambda }_1\overrightarrow{x}A\overrightarrow{y}={\lambda }_2\overrightarrow{y}if:{\lambda }_1\ne {\lambda }_2⟹\overrightarrow{x}\mathrm{\perp }\overrightarrow{y}$

厄米共轭/厄米算符

厄米共轭运算是一种希尔伯特空间中的一元运算（即只输入一个东西，输出一个东西），运算对象可以是算符(矩阵)，也可以是态矢（向量）。
在量子力学中厄米算符与厄米特矩阵呈一一映射的关系，而狄拉克算符的作用对象由行向量列向量变为了态矢，特征值变为了本征值，特征向量变为了本征函数。

在量子力学中的应用

本征态与基底

量子力学中的态可以被表示为**希尔伯特空间(Hilbert space)中的一个向量 $|\mathrm{\Psi }(t)⟩$ ，我们可以用不同的基底(basis)**来描述。

1. 最常见的表述方式 $\mathrm{\Psi }(x，t)$ 实际上是态矢在**位置空间(position space)中的表述方式： $\mathrm{\Psi }(x,t)=⟨x||\mathrm{\Psi }(t)⟩$ ,其中 $|x⟩$ 代表具有本征值(eigenvalue)$x$ 的本征函数(eigenfunction) $\hat{x}$ 。
2. 用同样的方法可以将态矢表示在动量空间(momentum space)：$\mathrm{\Psi }(p,t)=⟨p||\mathrm{\Psi }(t)⟩$ 同样， |p⟩ 代表本征值为 p 的本征函数 $\hat{p}$
3. 还可以将它以能量本征值为基底表示： $c_n=⟨n||\mathrm{\Psi }(t)⟩$， |n⟩ 为$\hat{H}$的 n 阶本征函数，$c_n$ 为第 n 阶本征函数的系数。

本征函数的性质

1. 本征函数总可以归一化：${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}_n^{\ast }(x){\mathrm{\Psi }}_n(x)dx=1$ (可以对应于波函数的归一化性质)
2. 本征函数有正交性（可严格证明）：
   ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}_m^{\ast }(x){\mathrm{\Psi }}_n(x)dx={\delta }_{mn}=\{\begin{array}{r}1,m=n\\ 0,m\ne n\end{array}$
   $\delta$称为狄拉克函数。
3. 本征函数具有完备性： 任一物理上合理的归一化波函数，都可由力学量 A 的本 征函数系展开：
   $\mathrm{\Psi }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{\psi }_n(x)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mid C_n{\mid }^2=1$
   $\mid C_n{\mid }^2$为各分状态占总状态的百分比。^[2:1]

若一个本征值对应多个本征函数，则称这些本征函数是n度简并的。注：一个本征函数只能对应一个本征值。

算符

粒子状态可以用希尔伯特空间中的向量表示，那么算符的作用类似于线性代数中的线性变换
定义$|{\psi }_1⟩=\sum a_n|e_n⟩,|{\psi }_2⟩=\sum b_n|e_n⟩$;$|e_n⟩$为正交归一化基底。由于两个波函数是由基底描述的，我们可以推导出：$a_n=⟨e_n||{\psi }_1⟩$,$b_n=⟨e_n||{\psi }_2⟩$

算符则是对于特定两种基底的线性变换矩阵的元素：$\sum b_n|e_n⟩=a_n\hat{Q}|e_n⟩$
定义投影算符:$\hat{P}=|a⟩⟨a|$, $\hat{P}|b⟩=(⟨a||b⟩)|a⟩$,若a为单位向量，则称$\hat{P}$为投影算子。

利用投影算子我们可以实现基底变换：
$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\int |x⟩⟨x||\mathrm{\Psi }(t)⟩dx=\int \mathrm{\Psi }(x,t)|x⟩dx$
$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\int |p⟩⟨p||\mathrm{\Psi }(t)⟩dp=\int \mathrm{\Psi }(p,t)|p⟩dp$
$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\sum |n⟩⟨n||\mathrm{\Psi }(t)⟩=\sum c_n(t)|n⟩$

力学量算符化

量子力学中的力学量要用算符来表示，这是量子力学的另一个假设。

#坐标
以位矢$\overrightarrow{r}$为自变量的空间，称“位置表象”,在位置表象中 $\overrightarrow{r}$ 的算符就是它本身，而对于其他力学量就需要将其算符化：
$\overrightarrow{p}\Rightarrow \hat{\overrightarrow{p}}=-i\hslash \mathrm{\nabla }E\Rightarrow \hat{E}=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{E}_k\Rightarrow \widehat{E_k}=\frac{{\hat{\overrightarrow{p}}}^2}{2m}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\hat{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}=-i\hslash \overrightarrow{r}\times \mathrm{\nabla }$
前两项我们在薛定谔方程一节中提到了较为详细的推导。
为满足叠加态原理，标示力学量的算符一定要是线性厄米算符^[2:2]！

求一个力学量的平均值:
$\mathrm{连}\mathrm{续}:\overline{A}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}^{\ast }(x)\hat{A}\mathrm{\Psi }(x)dx\mathrm{离}\mathrm{散}:\overline{A}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mid C_n\mid$

量子表述：在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数 ($n，l，m_l,m_s$)
普遍表述：在由费米子^[2:3]组成的系统中，不可能有两个或两个以上的粒子具有完全相同的状态。

全同粒⼦所组成的体系中，两全同粒⼦相互调换不引起体系物理状态的改变——运动规律对全同粒子不可分辨。