Dirac operator

狄拉克创立了狄拉克算符系统，使得量子力学规律的呈现变得简洁；狄拉克算符系统的本质上很大部分包含了复数域上的线性代数。

Hilbert空间

一个完备化的内积空间称为希尔伯特空间。

算符

算符的本质是线性变换（亦即映射）一般用花写的英文字母表示，如 $A$ ,对应于线性代数中的矩阵A；特别的，记单位算符为 $I$ ,其作用于任何向量与算符都等于被作用的向量或算符；同维的算符可以相加相乘，与矩阵的运算法则相同。

态矢

狄拉克算符分为左矢与右矢，记作： $| a ⟩, ⟨ a |$ ,其中a是任何能够表征这个态的量，如对于能量为 $E_{0}$ 的能量本征态，其右矢表示往往为 $| E_{0} ⟩$ .

态矢与线性代数中的矢量相对应。具体的，右矢往往对应于列矢量，左矢往往对应于行矢量。

其中：

(⟨ a |)^{†} = | a ⟩ (| a ⟩)^{†} = ⟨ a |

同类态矢可以做加法、乘法，非同类态矢可以做乘法，其中：

⟨ a | | b ⟩ = c | a ⟩ ⟨ b | = A

其中c为一个常数，A为一个矩阵。

复共轭

复数

对于复数，我们有 $a + i b = \overset{―}{a - i b}$ ,称为a+ib是a-ib的复共轭；复数的共轭运算遵循加法的结合律和乘法的结合律，两共轭复数相乘得到的是一个实数。
复数的模： $∣ a + b i ∣= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

复向量

由复数组成的向量可以写成以下形式：

\vec{x} = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] x_{j} = a_{j} + i b_{j}

复向量的模与实向量的模类似，但是需要对每个复数先取模再平方：

∥ \vec{x} ∥^{2} =∣ x_{1} ∣^{2} + \dots + ∣ x_{n} ∣^{2}

实向量的模的平方等于实向量的转置与实向量的内积:

∥ \vec{x} ∥^{2} = {\vec{x}}^{T} \vec{x}

对于复向量：复向量模的平方等于其复共轭(即向量中的每个维的复数取其复共轭)的转置与复向量的内积，即：

∥ \vec{x} ∥^{2} = {\overset{―}{\vec{x}}}^{T} \vec{x}

其中 ${\overset{―}{\vec{x}}}^{T}$ 也常用厄米共轭表示： ${\vec{x}}^{†}$

复矩阵与厄米共轭

对于复矩阵： $(A B)^{†} = B^{†} A^{†}$ ，如果 $A = A^{†}$ ,则称A为Hermitian Matrix（埃尔米特矩阵/厄米特矩阵），该矩阵有如下性质：^[1]

\begin{matrix} (1) & (x^{†} A x)^{†} \in R (x^{†} A x)^{†} = x^{†} A x \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & A \vec{x} = λ \vec{x} λ \in R \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & A \vec{x} = λ_{1} \vec{x} A \vec{y} = λ_{2} \vec{y} i f : λ_{1} \neq λ_{2} ⟹ \vec{x} ⊥ \vec{y} \end{matrix}

厄米共轭/厄米算符

厄米共轭运算是一种希尔伯特空间中的一元运算（即只输入一个东西，输出一个东西），运算对象可以是算符(矩阵)，也可以是态矢（向量）。
在量子力学中厄米算符与厄米特矩阵呈一一映射的关系，而狄拉克算符的作用对象由行向量列向量变为了态矢，特征值变为了本征值，特征向量变为了本征函数。

在量子力学中的应用

本征态与基底

量子力学中的态可以被表示为**希尔伯特空间(Hilbert space)中的一个向量 $| Ψ (t) ⟩$ ，我们可以用不同的基底(basis)**来描述。

最常见的表述方式 $Ψ (x ， t)$ 实际上是态矢在**位置空间(position space)中的表述方式： $Ψ (x, t) = ⟨ x | | Ψ (t) ⟩$ ,其中 $| x ⟩$ 代表具有本征值(eigenvalue) $x$ 的本征函数(eigenfunction) $\hat{x}$ 。
用同样的方法可以将态矢表示在动量空间(momentum space)： $Ψ (p, t) = ⟨ p | | Ψ (t) ⟩$ 同样， |p⟩ 代表本征值为 p 的本征函数 $\hat{p}$
还可以将它以能量本征值为基底表示： $c_{n} = ⟨ n | | Ψ (t) ⟩$ ， |n⟩ 为 $\hat{H}$ 的 n 阶本征函数， $c_{n}$ 为第 n 阶本征函数的系数。

本征函数的性质

本征函数总可以归一化： $\int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ_{n}^{*} (x) Ψ_{n} (x) d x = 1$ (可以对应于波函数的归一化性质)
本征函数有正交性（可严格证明）：

\int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ_{m}^{*} (x) Ψ_{n} (x) d x = δ_{m n} = {\begin{array}{r} 1, m = n \\ 0, m \neq n \end{array}

$δ$ 称为狄拉克函数。
3. 本征函数具有完备性：任一物理上合理的归一化波函数，都可由力学量 A 的本征函数系展开：

Ψ (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} ψ_{n} (x) \sum_{n = 1}^{\infty} ∣ C_{n} ∣^{2} = 1

$∣ C_{n} ∣^{2}$ 为各分状态占总状态的百分比。^[2]

若一个本征值对应多个本征函数，则称这些本征函数是n度简并的。注：一个本征函数只能对应一个本征值。

个人的一些理解

$Ψ$ 表示一个粒子的状态，对应到线性空间是一个向量；而 $ψ_{n}$ 则是 $Ψ$ 在各个维度的投影上的单位向量， $C_{n}$ 为投影的长度。

算符

粒子状态可以用希尔伯特空间中的向量表示，那么算符的作用类似于线性代数中的线性变换
定义 $| ψ_{1} ⟩ = \sum a_{n} | e_{n} ⟩, | ψ_{2} ⟩ = \sum b_{n} | e_{n} ⟩$ ; $| e_{n} ⟩$ 为正交归一化基底。由于两个波函数是由基底描述的，我们可以推导出： $a_{n} = ⟨ e_{n} | | ψ_{1} ⟩$ , $b_{n} = ⟨ e_{n} | | ψ_{2} ⟩$

算符则是对于特定两种基底的线性变换矩阵的元素： $\sum b_{n} | e_{n} ⟩ = a_{n} \hat{Q} | e_{n} ⟩$
定义投影算符: $\hat{P} = | a ⟩ ⟨ a |$ , $\hat{P} | b ⟩ = (⟨ a | | b ⟩) | a ⟩$ ,若a为单位向量，则称 $\hat{P}$ 为投影算子。

利用投影算子我们可以实现基底变换：

\begin{matrix} (1) & | Ψ (t) ⟩ = \int | x ⟩ ⟨ x | | Ψ (t) ⟩ d x = \int Ψ (x, t) | x ⟩ d x \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & | Ψ (t) ⟩ = \int | p ⟩ ⟨ p | | Ψ (t) ⟩ d p = \int Ψ (p, t) | p ⟩ d p \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & | Ψ (t) ⟩ = \sum | n ⟩ ⟨ n | | Ψ (t) ⟩ = \sum c_{n} (t) | n ⟩ \end{matrix}

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厄米算符的本征值一定是实数，这与实验观测结果一致。如果一个算符不是厄米的，其本征值可能是复数，这样就不符合物理观测的实际情况。注：本征值的个数可以有先有也可以无限；可以离散也可以连续。 ↩︎
本征态的线性叠加是粒子可能的状态，但叠加后的波函数已经不再是本征函数，此时无法精确测定其力学量。本征函数都是正交的，这表明不同本征态之间都是独立的。 ↩︎